Filosofia

La sección áurea es una regla matemática de disposición milimétrica mediante la cual se ordenan los objetos de una creación para obtener una composición armoniosa.
De forma simple establece que lo pequeño es a lo grande como lo grande es al todo. . Esta razón ha sido venerada por toda cultura en este planeta. Podemos encontrarla en el arte, la composición musical, incluso en las proporciones de nuestro propio cuerpo, y en general en toda la Naturaleza “escondida” detrás de la secuencia de Fibonacci.

Conocida por su carácter estético, ha sido un patrón utilizado por los grandes genios de la antigüedad. Diversos estudios han demostrado que la percepción de la belleza radica en la proporción áurea, debido a que nuestro cerebro tiende a buscar la media, a preferir el orden lógico frente al caos, Por ende, aquello que matemáticamente más se aproxime a fi, se percibirá como más bello y perfecto.

Ésta noción de belleza y perfección es aplicable a estructuras arquitectónicas, pinturas, partituras musicales, fractales y personas. Esta proporción nace a partir del número Fibonacci, una sucesión infinita de números naturales. La sucesión comienza con los números 0 y 1,y a partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 .  .  . ). La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de Fibonacci, La distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total, La disposición de los pétalos de las flores, e incluso está presente en las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfonía de Ludwig van Beethoven, en obras de Franz Schubert y Claude Debussy

El origen exacto del término sección áurea es bastante incierto. Generalmente se sitúa en Alemania, en la primera mitad del S. XIX. Muchos han sido los artistas, humanistas y matemáticos que lo han tratado, aunque bajo distinto sobrenombre y con distinta disposición. Otros nombres que recibe son: sección divina, sección de oro, proporción divina, proporción dorada, canon
áureo, regla de oro o número de oro.

De esta proporción se hablaba ya desde muy antiguo, los egipcios la descubrieron buscando medidas que les permitieran dividir la tierra de forma exacta. De Egipto pasó a Grecia y de allí a Roma. Pitágoras (569 a.e.c) escogió como símbolo para su Escuela la estrella pentagonal, figura geométrica que muestra en todas sus relaciones la sección áurea y se cree que a partir de esta figura llegaron a la noción de inconmensurabilidad y al conocimiento de los números inconmensurables, tales como el que ahora nos ocupa. Platón (428-347 a.e.c.) hace referencia a ella en el Timeo y dice “es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una ligazón entre ellas que las ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo…”. Euclides (450-380 a. e.c.), matemático griego, en su obra principal Elementos, extenso tratado de matemáticas sobre geometría plana, proporciones, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio, nos revela la primera fuente documental importante sobre esta sección, su cálculo y trazado geométrico. Más tarde, Vitruvio, arquitecto romano, vuelve a tratarla en sus Diez libros de arquitectura.
Hoy en día son muchos los artistas que usa esta proporción para estructurar sus obras, ya sea de forma consciente e inconscientemente, debido al bagaje cultural de siglos.Otros como Leonardo da Vinci (1452-1519) o Durero (1417-1528) hicieron especial hincapié en la relación del número áureo y las proporciones humanas y elogiaron la apariencia de armonía y equilibrio que presentan las obras creadas a partir e dicha proporción. Andrea Palladio (1508-1580), arquitecto italiano, estaba convencido de que las escalas musicales -relacionadas con la sección áurea como veremos más tarde- han de usarse como cánones de diseño arquitectónico. Uno de los últimos renacentistas que celebraron sus virtudes fue Kepler (1517-1630), quie afirmaba: “hay dos tesoros en la geometría… uno el teorema de Pitágoras y otro la división proporcional”

DEFINICIÓN

La sección áurea es una proporción que aparece entre los segmentos de una recta al dividir ésta en media y extrema razón. Una
recta AB queda dividida por un punto F en otros dos segmentos (AF y FB) de tal forma que el segmento mayor es al menor, como el todo es al mayor.

LA SUCESIÓN DE FIBONACCI
Leonardo Fibonacci, nace en Pisa en torno al 1170 y muere en el 1240 presumiblemente en el mismo lugar. Viajó por Egipto, Siria, Grecia y Sicilia; en donde conoció la matemática empleada en estas regiones. De todas sus obras, la más conocida Liber abacci (1228), es un compendio de todos los conocimientos de aritmética y álgebra que adquirió en sus viajes y que han tenido una función fundamental en el desarrollo de la matemática en Europa Occidental y en particular en la numeración indo-arábiga, que remplazó a la latina y fue conocida en Europa a través de este libro.

Fibonacci llegó a descubrir esta sucesión de números estudiando la evolución de una pareja de conejos. Retomemos ahora el problema al que se enfrentó Leonardo: la pareja de conejos A concibe cada mes y a partir del segundo una nueva pareja, que a su vez será productiva a sus dos meses de vida. Se inicia el experimento en su primer mes con una pareja de conejos recién nacida (anotamos el número 1). En el segundo mes seguimos todavía con una única pareja (anotamos de nuevo el número 1). En el tercer mes nace una pareja B (anotamos el número 2). Al siguiente mes la pareja A ha generado una C mientras que la B no ha procreado (anotamos el número 3). Pasado otro mes, las dos primeras parejas generan otras dos (D y E), mientras que la tercera no tiene hijos (anotamos el 5). Por tanto, tenemos la sucesión de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…, que es la famosa sucesión de Fibonacci.

EL RECTÁNGULO ÁUREO
Los rectángulos cuya razón de lados es un número entero o fraccionario son llamados “estáticos”, y aquellos en los que esta razón es un número inconmensurable se llaman “dinámicos”. De estos últimos nos ocuparemos aquí. El rectángulo Φ o rectángulo áureo es aquel dinámico cuya razón de lados es el número de oro 

Si calculamos la media y extrema razón del segmento AF, y añadimos la longitud BF=GA al lado mayor del rectángulo obtenemos otro rectángulo dinámico, muy usado en arte conocido como “rectángulo √5”. Tanto del rectángulo Φ, como el √5 podemos obtener composiciones armónicas más o menos complicadas que son -como más tarde veremos- el modelo de planos de templos, de alzados en fachadas de iglesias o la trama geométrica sobre la que se estructuran muchos cuadros.

En la siguiente figura, vemos como la base de cada rectángulo es la suma de la base y la altura del rectángulo anterior, y la altura es la base de dicho rectángulo. Como consecuencia, podemos aproximar esta sucesión de rectángulos a una sucesión de Fibonacci en la que se tiende a un rectángulo en proporción áurea.

existen formas geométricas que recurren una y otra vez formando “nidos” armoniosos de crecimiento constante Φ. Algunas de estas formas generan espirales que están por lo tanto en la misma relación Φ. Partiendo de que toda espiral logarítmica está caracterizada por una progresión geométrica, podemos asegurar que de la serie: 1,Φ, Φ2, Φ3,… obtendremos una de estas espirales, que tienen como pulsación radial, diametral, o cuadrantal al número áureo. Entre las espirales logarítmicas destacamos la de la figura 18, con pulsación cuadrantal =Φ, con pulsación diametral =Φ2 y con pulsación radial =Φ4. El rectángulo director de dicha espiral es de módulo Φ. Al ser la razón de crecimiento de este rectángulo igual a Φ, los módulos de los rectángulos crecientes así obtenidos son los elementos de la sucesión de Fibonacci.

La sección aurea en el arte
Si estudiamos el contorno de una ánfora ática que ilustra la leyenda de Hércules y Pholus. Las proporciones principales, tanto de la altura como del ancho comparten la relación áurea. La siguiente figura presenta el contorno de dicha ánfora y su estudio áureo en altura.

Se otorga en la escultura griega la absoluta primacía a la representación del cuerpo humano. En éste, la belleza se consigue tanto por la perfección formal como por la armonía de sus proporciones, basada en la correspondencia de sus diversas partes. Por otra parte, mediante la actitud, el movimiento o la mirada, el escultor griego expresa el mundo del espíritu. Destacamos a tres grandes
escultores: Mirón, Fidias y Polícleto. En Policleto (s.V a.C.), a quien se atribuye la autoria de un célebre tratado sobre las proporciones del cuerpo humano, actualmente perdido, encontramos por
vez primera el concepto de belleza basada en el idealismo de proporciones del cuerpo humano como ocurre en dos de sus obras maestras El Diadúmenos y El Portalanza o Doríforo. Las construcciones de la sección áurea de esta escultura(fig.40) muestran dos conjuntos de rectángulos áureos recíprocos, cada uno de √5 de largo; el conjunto mayor abarca todo el cuerpo, con las rodillas y el pecho en los puntos de la sección áurea; el conjunto menor se extiende desde la parte superior de la cabeza hasta los genitales. El ombligo se encuentra en el
punto de la sección áurea de la altura total, los genitales en el punto de 3/4 de la altura hasta el mentón.a

En la pintura del quattrocento se gestó la idea de que el arte debía fundirse con la ciencia matemática, la geometría y la perspectiva. entre diversas obras. destacamos
Los Reyes Magos de Benozzo Gozzoli, la Natividad de la Virgen de Domenico Ghirlandaio, El parnaso de Andrea Mantegna y La Primavera de Boticelli. Sandro Botticelli(1444-1510) sea quizá el más conocido de todos ellos. Analicemos otra de sus obras con más repercusión, El Nacimiento de Venus

La proporción utilizada es un 9/16. Volvemos a encontrar el eje de simetría del cuadro desplazado ligeramente a un lado. La relación de espacio entre los pies y el ombligo y la cabeza es de 0,618; que es la misma relación que hay entre el cuello del fémur y la rodilla y la longitud de la pierna entera y la misma que hay entre el codo y la punta del dedo medio y la longitud del brazo.

El tránsito del “Quattrocento” al “Cinquecento” está encarnado de forma excepcional en Leonardo da Vinci(1452-1519), considerado siempre como una de las mentes más brillantes y prodigiosas de la historia. Leonardo es el artista más secreto y más sabio de los tratados hasta el momento. Apasionado de la música, habla abundantemente de la sutileza de las relaciones del arte de los sonidos con la pintura, pero su forma de concebir estas relaciones es realmente particular. Sus reflexiones sobre todas las cosas son excesivamente profundas y enigmáticas. La Última Cena, la única composición monumental que conservamos, sigue una disposición simple del rectángulo √5. Aunque esta composición está centrada sobre el Cristo, su traza determina otro cuadrado central que está en proporción áurea con las longitudes sobrantes a los lados. En el cuadrado central, se inscribe un cuadrado más pequeño donde residen cuatro rectángulo áureos y a su vez la
figura de Cristo se inscribe en otro rectángulo áureo delimitado por la ventana del fondo

En muchos otros cuadros suyos utilizó la proporción áurea considerada por él como un reflejo de la proporción humana. Leonardo establece -siguiendo los dictámenes de la arquitectura de Vitruvio- que las proporciones del cuerpo humano son perfectas cuando el ombligo divide al cuerpo en modo áureo y es a lavez el centro de la circunferencia que lo circunscribe

La aplicación más directa que hace de estas proporciones la encontramos en La Gioconda donde la relación áurea la encontramos en
las proporciones del cuadro, en las dimensiones del rostro, en el espacio que hay entre el cuello y la mano y en el que hay entre el escote del vestido y el final de la mano.

La figura de Velázquez(1599-1660), de las más grandes de toda la pintura española, es en la que nos detendremos en este apartado. Desde sus primeras obras supo representar la realidad tal como la veía y tuvo la virtud de saber comunicar al espectador la noción de espacio, mediante un genial uso de luces y sombras y una pincelada segurísima. Se ha dicho a veces que el realismo de
Velázquez es “espiritualizado” de tal manera que, siendo barroco, parece un clásico de la época de Pericles; y su pintura se ha mantenido -como el arte griegoen un plano elevado de armonía, elegancia y profundidad que solo son reflejo de la autentica belleza. Dos de sus grandes obras: Las Hilanderas y Las Meninas, que el autor pintó al término de su carrera, son ejemplo del sentido espacial que poseía este español y podemos pensar que detrás de estos trazos geniales se esconde la proporción áurea.

ARQUITECTURA Y ARMONÍAS HUMANAS

Se caracteriza la arquitectura egipcia por el empleo de la piedra, en grandes sillares. La organización arquitectónica tomando como elemento básico la columna es una aportación esencial del arte egipcio, como lo es la belleza en la  razón matemática de las proporciones, es decir, de las relaciones entre las partes que integran el edificio. Las construcciones más características del arte egipcio son las tumbas y los templos. Como no destacar aquí La Gran Pirámide de Keops

“Herodoto relata que los sacerdotes egipcios le habían enseñado que las proporciones establecida para la Gran Pirámide entre el lado de la base y la altura eran tales, que el cuadrado construido sobre la altura vertical era exactamente igual al área de cada una de las caras triangulares”.

En toda la cultura griega el cuerpo humano fue considerado como el modelo vivo más perfecto de simetría en sus formas, de armonía en todas sus proporciones, de euritmia. Cuatro siglos más tarde Vitruvio, comienza su tratado de arquitectura con la recomendación de que los templos, para ser magníficos, se construyan análogos al cuerpo humano bien formado, en el cual, dice, existe una perfecta armonía entre todas las partes. Entre ellas menciona la altura que, en el hombre bien formado, es igual a la amplitud de sus brazos extendidos. Estas medidas iguales generan un cuadrado que abarca todo el cuerpo, en tanto que las manos y los pies desplazados tocan un círculo centrado en el ombligo. Esta relación del cuerpo humano con el círculo y el cuadrado se asienta en la idea arquetípica de la “cuadratura del círculo”, que fascinó a los antiguos, porque esas formas se consideraban perfectas e incluso sagradas. Cuando el Renacimiento redescubrió la vigencia clásica, Leonardo ilustró con su famoso dibujo,  la versión de esta idea expuesta por Vitruvio. El diagrama de barras y el diagrama triangular que aquí se añaden al dibujo, muestran cómo las partes adyacentes de este cuerpo comparten proporciones comprendidas en el rango de la sección áurea y del triángulo pitagórico. Leonardo, como otros maestros del Renacimiento, fue un gran estudioso de las proporciones armoniosas. Al igual que El, Durero publicó varios volúmenes sobre las proporciones humanas. Sus teorías incluyen el uso de escalas armónicas, para ilustrar esas relaciones en los dibujos de los cuerpos de un niño y de un hombre.

La división determinada por el ombligo es la manifestación más importante de la sección áurea en el cuerpo humano, aunque se encuentra también en las demás proporciones de las partes del cuerpo. Sir Th. Cook en The Curves of Life señala sobre un cuerpo femenino estas medidas

La idea de que las armonías fundamentales de la música se corresponden con las proporciones adecuadas del cuerpo humano y deben, por lo tato, continuarse en la arquitectura, se convirtió en una idea dominante entre los maestros del Renacimiento. “La belleza es la
armonía y es acuerdo de todas las partes, logrados de tal manera que nada se podría agregar, quitar o alterar, excepto para empeorarlo”. Son las palabras de otro maestro del Renacimiento, Leon Battista Alberti, arquitecto y autor de un famoso tratado sobre arquitectura

Siguiendo el criterio de diseño griego -diseñar los templos según proporciones humanas- se recomienda que la longitud del templo duplique su
ancho y que las proporciones del vestíbulo de entrada abierto (pronaos) y de la habitación interior cerrada (cella) estén en relación 3-4-5 (3 la profundidad del
pronaos, 4 el ancho y 5 la profundidad de la cella). Vitruvio también aportó muchas otras recomendaciones en cuanto a las proporciones de los templos, todas basadas en modelos griegos. Por ejemplo, se refirió a las distancias entre columnas y a la altura correcta de éstas, ambas medidas expresadas en términos de diámetro columna. Ese elemento, elegido para expresar las proporciones de la estructura completa (tal como los pies lo hacen respecto de las proporciones del cuerpo humano), se llama módulo, concepto que desempeña un importante papel a todo lo largo de la historia de la arquitectura. Las proporciones recomendadas para los templos griegos se pueden apreciar en tres ejemplos pertenecientes a estilos distintos: el Templo de la
Concordia de Agrigento, el Partenón de Atenas (siglo V a.C.), ejemplos del  orden dórico, y el Templo de Atenea de Priene (siglo IV a.C.), característico del estilo jónico.

El plano del Partenón corresponde a dos rectángulo áureos recíprocos y refleja de ese modo la armonía de diapente. El naos o cella y el tesoro o cámara de la virgen corresponden a la proporción áurea

Los tiempos modernos no quedan exentos de utilizar este patrón y las grandes marcas recurren a él, para explotar su potencial